（2010•淄博二模）已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)＝12x2+mx+72

解题思路：（Ⅰ）求出f′（x）得到斜率k=f′（1），且过（1，0），写出直线方程即可．因为直线l与g（x）的图象相切联立两个函数解析式，消去y得到一元二次方程，根的判别式=0即可求出m；
（Ⅱ）把g（x）代入到h（x）得a大于一个函数，求出导函数=0时x的值，再根据自变量的取值范围讨论函数的增减性得到函数的最大值，让a大于最大值即可求出a的范围．

（Ⅰ）∵f′(x)＝
1
x，直线l是函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线，
∴其斜率为k=f′（1）=1
∴直线l的方程为y=x-1．
又因为直线l与g（x）的图象相切，
由

y＝x−1
y＝
1
2x2+mx+
7
2⇒
1
2x2+(m−1)x+
9
2＝0，
得△=（m-1）²-9=0⇒m=-2（m=4不合题意，舍去）
（Ⅱ）∵g(x)＝
1
2x2−2x+
7
2
由h(x)＝
a
2x2−2ax+
7a
2−lnx+2ax−
7a
2＝
a
2x2−lnx≥
1
2恒成立，
得a≥
1+2lnx
x2(x＞0)恒成立
设ϕ(x)＝
1+2lnx
x2，则ϕ′(x)＝
−4lnx
x3
当0＜x＜1时，ϕ′（x）＞0；当x＞1时，ϕ′（x）＜0．
于是，ϕ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
故φ（x）的最大值为ϕ_max（x）=ϕ（1）=1
要使a≥ϕ（x）恒成立，只需a≥1，
∴a的取值范围为[1，+∞）

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，明白导数的几何意义，利用导数求曲线上某点切线方程的能力．