一次函数与几何图形的结合已知函数y=-三分之根号三x+1的图像与x轴,y轴相交于A,B两点,C点在第一象限,三角形ABC

已知函数y=-三分之根号三x+1的图像与x轴,y轴相交于A,B两点:A(根号三,0),B(0,1);

三角形ABC是等腰直角三角形,角BAC等于90度:C(X,Y),CB^2=2CA^2=2BA^2:
X^2+(Y-1)^2=2[(X-根号三)^2+Y^2]=2(3+1)=8;
2Y+7=X^2+Y^2=2根号三X+1,X=(Y+3)/根号三;
(Y+3)^2/3+(Y-1)^2=8,4Y^2=12,Y^2=3,C点在第一象限,Y=根号三,X=1+根号三;
{不是非得求出C的,只需要知道AB=AC即可）

若点P(a,1/2),且三角形ABP与三角形ABC的面积相等,
三角形ABC的面积=AB^2/2=2>三角形AOB的面积=√3/2;
过P作PD垂直x轴于D,则D(a,0)如图：

P如果位于Y轴的左边,梯形PDOB的面积=-3a/4,三角形PDA的面积=(√3-a)/4
则三角形ABP的面积=三角形AOB的面积+梯形PDOB的面积-三角形PDA的面积
=√3/2-3a/4-(√3-a)/4=(√3-2a)/4=2,a=(√3-8)/2;
P如果位于Y轴的右边,梯形PDOB的面积=3a/4,三角形PDA的面积=(a-√3)/4
则三角形ABP的面积=梯形PDOB的面积-三角形PDA的面积-三角形AOB的面积
=3a/4-(a-√3)/4-√3/2=(2a-√3)/4=2,a=(√3+8)/2;

函数y=-(√3/3)x+1与X轴的交点为A(√3，0),与Y轴的交点为B(0,1).
∵△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°,∴AB=BC=2.
∴S△ABC=S△PAB,∴P(a,1/2)至直线段AB的距离d=AB(或BC)=2.[等底等高]
将y变为一般方程：√3x+3y-3=0.
则 d=|√3a+3/2-3|/√[(√3)^2+3^2]=2.