（2014•滨州二模）已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f

解题思路：（Ⅰ）根据题意f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，则当x=0时，f（x）取到极小值，求出函数的导数代入函数的倒数即可求出b的值
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c，根据1是函数f（x）的一个零点，求出ac的关系，根据导数求出导数的两根，再根据f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，求出a的取值范围
（Ⅲ）点（1，0）是函数f（x）和函数g（x）的图象的一个交点，结合函数f（x）和函数g（x）的图象及其增减特征可知，当且仅当函数f（x）和函数g（x）的图象只有一个交点（1，0）时，f（x）＞g（x）的解集为（-∞，1）．

（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，∴f′（x）=-3x²+2ax+b、（1分）
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f′（0）=0、∴b=0、（3分）
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c，
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1-a、（5分）
∵f′（x）=-3x²+2ax=0的两个根分别为x₁=0，x₂=[2a/3]，
∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴x₂=[2a/3]＞1，即a＞
3
2、（7分）
∴f（2）=-8+4a+（1-a）=3a-7＞−
5
2、
故f（2）的取值范围为（-[5/2]，+∞）、（9分）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知f（x）=-x³+ax²+1-a，且a＞[3/2]、
∵1是函数f（x）的一个零点，∴f（1）=0，
∵g（x）=x-1，∴g（1）=0，
∴点（1，0）是函数f（x）和函数g（x）的图象的一个交点、（10分）
结合函数f（x）和函数g（x）的图象及其增减特征可知，当且仅当函数f（x）和函数g（x）的图象只有一个交点（1，0）时，f（x）＞g（x）的解集为（-∞，1）、
即方程组

y＝x−1
y＝−x3+ax2+1−a（1）只有一个解

x＝1
y＝0、（11分）
由-x³+ax²+1-a=x-1，得（x³-1）-a（x²-1）+（x-1）=0、
即（x-1）（x²+x+1）-a（x-1）（x+1）+（x-1）=0、
即（x-1）[x²+（1-a）x+（2-a）]=0、
∴x=1或x²+（1-a）x+（2-a）=0、（12分）
由方程x²+（1-a）x+（2-a）=0，（2）
得△=（1-a）²-4（2-a）=a²+2a-7、∵a＞[3/2]，
当△＜0，即a²+2a-7＜0，解得
3
2＜a＜2

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．

考点点评： 该题考查函数的求导，根据函数的零点求出a的取值范围，利用判别式求方程的解，