已知真命题：过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点P

解题思路：首先类比抛物线，得到过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴右端点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点P，然后运用直线和椭圆联立方程，应用韦达定理求出M，N的坐标，得到直线MN的方程，求出定点P（

a(a2−b2)

a2+b2

，0）．

类比可得：过椭圆
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0）的长轴右端点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点P（
a(a2−b2)
a2+b2，0）．
证明：A（a，0），过A相互垂直的两直线，可设为：y=k（x-a），y=-[1/k]（x-a），
由

y＝k(x−a)

x2
a2+
y2
b2＝1消去y，得到（b²+k²a²）x²-2a³k²x+a⁴k²-a²b²=0，
由韦达定理得，x₁•a=a•
a3k2−ab2
b2+a2k2，即M（
a3k2−ab2
b2+a2k2，
−2kab2
b2+a2k2），
同理将上面的k换成-[1/k]，可得，N（
a3−ab2k2
a2+b2k2，
2ab2k
a2+b2k2），
可得直线MN的方程为y+
2akb2
b2+a2k2=
k(a2+b2)
a2(1−k2)（x-
a3k2−ab2
b2+a2k2），①
可取k=2，3，求出两直线的交点为（
a(a2−b2)
a2+b2，0），
代入①式，恒成立，
故直线MN过定点P（
a(a2−b2)
a2+b2，0）．
故答案为：过椭圆
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0）的长轴右端点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点P（
a(a2−b2)
a2+b2，0）．

点评：
本题考点： 类比推理．

考点点评： 本题考查类比推理的思想，但要注意过定点，还需证明求出具体的坐标，属于中档题．