james3701 幼苗
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bn |
bn−1 |
an+1−2an |
an−2an−1 |
(1)∵Sn+1=4(an+2)-5,
∴Sn+1=4an+3.
∴Sn=4an-1+3(n≥2).
∴an+1=4an-4an-1(n≥2).
∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).
∴
bn
bn−1=
an+1−2an
an−2an−1=2(n≥2).
∴数列{bn}为等比数列,其公比为q=2,首项b1=a2-2a1,
而a1+a2=4a1+3,且a1=1,
∴a2=6.
∴b1=6-2=4.
∴bn=4×2n-1=2n+1.(4分).
(2)∵f(x)=b1x+b2x2+b3x3++bnxn,
∴f'(x)=b1x+2b2x+3b3x2++nbnxn-1.
∴f'(1)=b1+2b2+3b3++nbn.
∴f'(1)=22+2•23+3•24++n•2n+1,①
∴2f'(1)=23+2•24+3•25++n•2n+2.②
①-②得-f'(1)=22+23+24++2n+1-n•2n+2
=
4(1−2n)
1−2−n•2n+2=-4(1-2n)-n•2n+2,
∴f'(1)=4+(n-1)•2n+2.(6分).
∴f'(1)-(8n2-4n)=4(n-1)•2n-4(2n2-n-1)=4(n-1)[2n-(2n+1)].
当n=1时,f′(1)=8n2-4n;
当n=2时,f′(1)-(8n2-4n)=4(4-5)=-4<0,f′(1)<8n2-4n;
当n≥3时,4(n-1)>0,
且2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+Cnn-1+Cnn>2n+2>2n+1,
∴n≥3时,总有2n>2n+1.(10分).
∴n≥3时,总有f′(1)>8n2-4n.
点评:
本题考点: 数列与函数的综合;等比数列的通项公式.
考点点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用,注意错位相减法和分类讨论思想的运用.
1年前
你能帮帮他们吗