（2010•扬州模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若（a2-1）3+2010（a2-1）=1，（a2009-1

解题思路：根据已知条件可判断a₂＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，0＜a₂₀₀₉＜1＜a₂，从而公差d＜0可判断③，
然后两式相加整理可得a₂+a₂₀₀₉=2，利用等差数列的性质可知a₁+a₂₀₁₀=a₂+a₂₀₀₉=2可判断①②，
由公差d＜0 可得a₂+a₂₀₀₈＞a₂+a₂₀₀₉＞a₂+a₂₀₁₀，结合等差数列的性质，可得2a₁₀₀₅＞2＞2a₁₀₀₆，
从而可得0＜a₁₀₀₆＜1＜a₁₀₀₅，可判断④的正误．

由（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1
可得a₂-1＞0，-1＜a₂₀₀₉-1＜0即a₂＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，从而可得等差数列的公差d＜0
③a₂₀₀₉＜a₂正确
把已知的两式相加可得（a₂-1）³+2010（a₂-1）+（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=0
整理可得（a₂+a₂₀₀₉-2）•[（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010]=0
结合上面的判断可知（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010＞0
所以a₂+a₂₀₀₉=2，而s2010＝
a1+a2010
2×2010＝2010×
a2+a2009
2＝2010②正确
由于d＜0，a₂₀₁₀＜a₂₀₀₉＜1，则S₂₀₀₉=S₂₀₁₀-a₂₀₁₀=2010-a₂₀₁₀＞2009①错误
由公差d＜0 可得a₂+a₂₀₀₈＞a₂+a₂₀₀₉＞a₂+a₂₀₁₀，结合等差数列的列的性质，可得2a₁₀₀₅＞2＞2a₁₀₀₆
从而可得0＜a₁₀₀₆＜1＜a₁₀₀₅
④s₂₀₀₉-s₂=a₃+a₄+…+a_{2009=2007a1006}＞0，故④错误
故答案为：②③

点评：
本题考点： 等差数列的性质．

考点点评： 本题注意考查了等差数列的性质的运用，灵活利用m+n=p+q，则am+an=ap+aq，是解决问题的关键，还要求考生具备一定的推理论证能力．