已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的某个焦点为F，双曲线G：x2a2−y2b2＝1（a，b＞0）的某个焦点
已知椭圆C：
+
＝1(a＞b＞0)的某个焦点为F，双曲线G：
−
＝1（a，b＞0）的某个焦点为F．
（1）请在
+y2＝1；友情提示：不可以补充形如a＝
，b＝1之类的条件．
（2）命题一：“已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，定点P（m，n）满足n2-2pm＞0，以PF为直径的圆交y轴于A、B，则直线PA、PB与抛物线相切”．命题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线P（x，y），定点P，以PF为直径的圆交F（0，1）轴于A、B，PA、PB与抛物线相切．试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；
（3）证明命题一的正确性．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）请在
椭圆的离心率为e＝
，且椭圆的长轴长为2
| ||
| 3 |
| 3 |
椭圆的离心率为e＝
，且椭圆的长轴长为2
上补充条件，使得椭圆的方程为
| ||
| 3 |
| 3 |
| x2 |
| 3 |
| 3 |
（2）命题一：“已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，定点P（m，n）满足n2-2pm＞0，以PF为直径的圆交y轴于A、B，则直线PA、PB与抛物线相切”．命题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线P（x，y），定点P，以PF为直径的圆交F（0，1）轴于A、B，PA、PB与抛物线相切．试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；
（3）证明命题一的正确性．
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解题思路：（1）可以考虑椭圆的离心率，长轴长等；或椭圆所经过的点；或椭圆的准线及利用椭圆的定义给出条件
（2）一：考虑椭圆C：
+
＝1(a＞b＞0)的某个焦点为F，定点P（m，n）满足
+
＞1的相关的性质
二：考虑双曲线G：
−
＝1（a，b＞0）的某个焦点为F，定点P（m，n）满足
−
＜1相关的性质
（3）先求以PF为直径的圆的方程为(x−m)(x−
)+y(y−n)＝0，设A（0，y1），B（0，y2），则可得y1(y1−n)+
pm＝0，从而可得直线PA的方程为y−y1＝
x＝
x，即px-2y1y+2y12=0
联立
，可得到y2-4y1y+4y12=0，通过判断△=0
（2）一：考虑椭圆C：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| m2 |
| a2 |
| n2 |
| b2 |
二：考虑双曲线G：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| m2 |
| a2 |
| n2 |
| b2 |
（3）先求以PF为直径的圆的方程为(x−m)(x−
| p |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| n−y1 |
| m |
| p |
| 2y1 |
联立
|
（1）补充一：椭圆的离心率为e＝
6
3，且椭圆的长轴长为2
3
补充二：椭圆过(
3，0)和(1，
6
3)
补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为2
3，且椭圆的一条准线长为
3
2
2
类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，本题满分（2分）
（2）命题一：已知椭圆C：
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)的某个焦点为F，定点P（m，n）满足
m2
a2+
n2
点评：
本题考点： 圆锥曲线的综合．
考点点评： 本题主要考查了椭圆的性质的应用，圆锥曲线的综合应用，解（2）的关键是要能由已知进行类别，解决本题要求考试具备较强的类比的能力及逻辑推理的能力．
1年前
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