已知函数f（x）=sin（ωx+ π 3 ）（x∈R），且 f( π 6 )=1 ．

（1）因为 f(
π
6 )=1 ，所以 sin(ω•
π
6 +
π
3 )=1 ，
于是ω•
π
6 +
π
3 =
π
2 +2kπ(k∈Z) ，即ω=1+12k（k∈Z），
故当k=0时，ω取得最小正值1．
此时 f(x)=sin(x+
π
3 ) ．
（2）先将 y=sin(x+
π
3 ) 的图象向右平移
π
3 个单位得y=sinx的图象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y=sin
1
2 x的图象；
最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的
1
2 倍（横坐标不变）得y=
1
2 sin
1
2 x的图象．
（3）因为f（α）=
3
5 ，f(β)=-
4
5 ，
所以 sin(α+
π
3 )=
3
5 ，sin(β+
π
3 )=-
4
5 ．
因为 α∈[
π
6 ，
2π
3 ]，β∈(-
5π
6 ，-
π
3 ) ，
所以α+
π
3 ∈[
π
2 ，π]，β+
π
3 ∈(-
π
2 ，0) ．
于是 cos(α+
π
3 )=-
4
5 ，cos(β+
π
3 )=
3
5 ．
①因为 tan(α+
π
3 )=
sin(α+
π
3 )
cos(α+
π
3 ) =-
3
4 ，
所以 tanα=tan[(α+
π
3 )-
π
3 ]=
tan(α+
π
3 )-tan
π
3
1+tan(α+
π
3 )•tan
π
3 =
-
3
4 -
3
1+(-
3
4 )•
3 =
4
3 +3
3
3 -4 =
48+25
3
11 ．
②因为 sin(α-β)=sin[(α+
π
3 )-(β+
π
3 )] = sin(α+
π
3 )cos(β+
π
3 )-cos(α+
π
3 )sin(β+
π
3 ) =
3
5 •
3
5 -(-
4
5 )•(-
4
5 )=-
7
25 ，
所以cos2（α-β）-1=-2sin ² （α-β）=-2× (-
7
25 ) 2 =-
98
625 ．