chenji333 幼苗
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(Ⅰ)∵h'(x)=2x+[1/x],又因为x>0,所以h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立
即函数h(x)在(0,+∞)上是单调递增,(2分)
且h(1)=0(4分)
(Ⅱ)f'(x)=
x2−1+lnx
x2=
h(x)
x2(x>0)
由(Ⅰ)函数h(x)=x2-1+lnx在(0,+∞)上是单调递增,且h(1)=0可知:
当0<x<1时,h(x)<0,所以有f'(x)<0;
当x>1时,h(x)>0,所以有f'(x)>0.(7分)
即函数f(x)在区间(0,1)上是减函数,在区间(1,+∞)上是增函数.(8分)
所以函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0(9分)
(Ⅲ)不存在(10分)
∵函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,
∴当满足1≤m<n,函数f(x)在[m,n]也是增函数.
若函数f(x)在[m,n]的值域也有[m,n],则有f(m)=m,f(n)=n,
也即函数y=f(x)与直线y=x在[1,+∞)上至少有两个不同的交点,
也即g(x)=f(x)-x在[1,+∞)上至少有两个不同的零点,
又g(x)=f(x)-x在区间[1,e)上是减函数,且g(1)=f(1)-1=-1,
当x∈[e,+∞)为增函数,且g(x)<0.
∴函数g(x)=f(x)-x在[1,+∞)上没有零点,
所以不存在实数m,n,满足1≤m<n,使得函数f(x)在[m,n]的值域也有[m,n].(13分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的零点;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性,是对导数知识的综合考查,也是高考常考题型.
1年前
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已知函数g(x)=lnx,求证:当x∈(0,+)时x≥lnx+1
1年前3个回答
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已知函数f(x)=lnx+a/x-2 g(x)=lnx+2x
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你能帮帮他们吗