已知函数f（x）=x3-x2，x∈R

解题思路：（1）假设f（m）＜0，f（n）＜0即m³-m²＜0，n³-n²＜0，得mn＜1这与m，n＞1矛盾，从而f（m），f（n）至少有一个不小于零．
（2）证明：由f（a）=f（b）得a³-a²=b³-b²，（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b），从而（a+b）²-（a+b）=ab＜(

a+b

2

)2，进而a+b＜[4/3]．

（1）证明：假设f（m）＜0，f（n）＜0
即m³-m²＜0，n³-n²＜0
∵m＞0，n＞0
∴m-1＜0n-1＜0
∴0＜m＜1，0＜n＜1，
∴mn＜1这与m，n＞1矛盾
∴假设不成立，即f（m），f（n）至少有一个不小于零．
（2）证明：由f（a）=f（b）得a³-a²=b³-b²，
∴a³-b³=a²-b²
∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b）
∵a≠b∴a²+ab+b²=a+b，
∴（a+b）²-（a+b）=ab＜(
a+b
2)2
∴[3/4(a+b)2−(a+b)＜0，
∴a+b＜
4
3]

点评：
本题考点： 反证法．

考点点评： 本题考察了不等式的证明，考察了反证法的证明问题，是一道中档题．