77变 花朵
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(1)当a=-3时,f(x)=
1
3x3−x2−3x+3,
∴f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.
当x<-1时,f′(x)>0,则f(x)在(-∞,-1)上单调递增;
当-1<x<3时,f′(x)<0,则f(x)在(-1,3)上单调递减;
当x>3时,f′(x)>0,f(x)在(3,+∞)上单调递增.
∴当x=-1时,f(x)取得极大值为f(-1)=−
1
3−1+3+3=
14
3;
当x=3时,f(x)取得极小值为f(3)=
1
3×27−9−9+3=-6.
(2)∵f′(x)=x2-2x+a,∴△=4-4a=4(1-a).
①若a≥1,则△≤0,∴f′(x)≥0在R上恒成立,∴f(x)在R上单调递增.∵f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,∴当a≥1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点.
②若a<1,则△>0,∴f′(x)=0有两个不相等的实数根,不妨设为x1,x2,(x1<x2).∴x1+x2=2,x1x2=a.
当x变化时,f′(x),f(x)的取值情况如下表:
∵x12-2x1+a=0,∴a=-x12+2x1.
∴f(x1)=
1
3
x31−
x21+ax1−a=
1
3
x31−
x21+ax1+
x21−2x1=
1
3
x31+(a−2)x1=
1
3x1[
x21+3(a−2)].
同理f(x2)=
1
3x2[
x22+3(a−2)].
∴f(x1)•f(x2)=
1
9
x 1
x 2[
x21+3(a−2)]•[
x22+3(a−2)]=
1
9(x1x2)[(x1x2)2+3(a−2)(
x21+
x22)+9(a−2)2]=
1
9a{a2+3(a−2)[(x1+x2)2−2x1x2]+9(a−2)2}=
4
9a(a2−3a+3).
令f(x1)•f(x2)>0,解得a>0.
而当0<a<1时,f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,
故当0<a<1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点.
综上所述,a的取值范围是(0,+∞).
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题.
考点点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力,分类讨论的数学思想.
1年前
已知函数f(x)=[1/3]x3-x2+ax-a(a∈R).
1年前1个回答
已知函数f(x)=[1/3]x3-x2+ax-a(a∈R).
1年前1个回答
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