（2011•上海二模）设二次函数f(x)＝(k−4)x2+kx (k∈R)，对任意实数x，有f（x）

解题思路：（1）欲使对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立及使（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，建立不等关系可求出k的值，从而求出函数的值域；
（2）若数列{a_n}在某个区间上是递增数列，则a_n+1-a_n＞0，则a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n＞0⇒an∈(0，

1

2

)，又当an∈(0，

1

2

)，n≥1时an+1＝f(an)＝−2

a

2 n

+2an＝−2(an−

1

2

)2+

1

2

∈(0，

1

2

)，所以对一切n∈N^*，均有an∈(0，

1

2

)，且a_n+1-a_n＞0；所以数列a_n在区间(0，

1

2

)上是递增数列；
（3）令bn＝

1

2

−an，可证得数列{lgb_n+lg2}是lgb1+lg2＝lg

1

3

为首项，公比为2的等比数列，即2ⁿ+nlog₃2-12ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1，所以，2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立，当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1．则λ＜1，当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值为-2，则λ＞-2，从而对任意n∈N^*，有-2＜λ＜1．又λ非零整数求出λ的值．

（1）由f（x）≤6x+2恒成立，即（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，从而得：

k−4＜0
(k−6)2+8(k−4)≤0，
化简得

k＜4
(k−2)2≤0，从而得k=2，所以f（x）=-2x²+2x，其值域为(−∞，
1
2]．
（2）当a1∈(0，
1
2)时，数列a_n在这个区间上是递增数列，证明如下：
若数列{a_n}在某个区间上是递增数列，则a_n+1-a_n＞0；
即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0⇒an∈(0，
1
2)；
an∈(0，
1
2)，n≥1时，an+1＝f(an)＝−2
a2n+2an＝−2(an−
1
2)2+
1
2∈(0，
1
2)，
所以对一切n∈N^*，均有an∈(0，
1
2)，且a_n+1-a_n＞0；所以数列a_n在区间(0，
1
2)上是递增数列．
（3）由（2）知，an∈(0，

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查了数列与函数的综合应用，以及数列与不等式的综合应用，同时考查了计算能力、推理能力，有一定的难度，属于难题．