a是大于零的实数，已知存在惟一的实数k，使得关于x的二次方程x2+（k2+ak）x+1999+k2+ak=0的两个根均为

设方程的两个质数根为p﹑q．由根与系数的关系，有
p+q=-（k²+ak），①
pq=1999+k²+ak，②
①+②，得p+q+pq=1999，
则（p+1）（q+1）=2⁴×5³．③
由③知，p、q显然均不为2，所以必为奇数．
故[p+1/2]和[q+1/2]均为整数，且[p+1/2•
q+1
2]=2²×5³，
若[p+1/2]为奇数，则必[p+1/2]=5^r（r=1，2，3），从而，p=2×5^r-1为合数，矛盾．
因此，[p+1/2]必为偶数．同理，[q+1/2]也为偶数．
所以，[p+1/2]和[q+1/2]均为整数，且[p+1/4•
q+1
4]=5³．
不妨设p≤q，则[p+1/4]=1或5．
当[p+1/4]=1时，[q+1/4]=5³，得p=3，q=499，均为质数．
当[p+1/4]=5时，[q+1/4]=5²，得p=19，q=99，q为合数，不合题意．
综上可知，p=3，q=499．
代入①得k²+ak+502=0．④
依题意，方程④有惟一的实数解．
故△=a²-4×502=0．
解得a=2
502．

点评：
本题考点： 质数与合数．

考点点评： 此题考查了二次方程根的情况与判别式△的关系以及根与系数的关系，质数的基本性质，有一定的难度．

1年前

okok3785 幼苗

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先求判别式得 (k^2+ak)^2-4(k^2+ak+1999) 可化为 (k^2+ak)^2-4(k^2+ak）+4-8000
=(k^2+ak-2)^2-8000 由此得出 （k^2+ak-2)^2>=8000 化为 k^2+ak-2>=20*2^1/2…（a） 或k^2+ak-2<=-20*2^1/2 …（b） 由此两式知（a）式是恒成立的 故只从（b）式入手 由其函数图像知 需满足...

1年前

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