如图,在Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外切圆的半径为
如图,在Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外切圆的半径为r.
(1)求证：BC·BD=r·ED;
(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
(1)求证：BC·BD=r·ED;
(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
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（1）取AB中点O,△ABC是Rt△,AB是斜边,O是外接圆心,连接CO,
∴BO=CO,∠BCO=∠OBC,
∵BC是∠DBE平分线,
∴∠DBC=∠CBA,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥DB,（内错角相等,两直线平行）,
∴ OC/BD=CE/DE,把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC,
∵OC=r,
∴BD•CE=DE•r．
∵∠D=90°,∠E=30°,
∴∠DBE=60°,
∴∠CBE= 1/2∠DBE=30°,
∴∠CBE=∠E,
∴CE=BC,
∴BC•BD=r•ED．
（2）BD=3,DE=4,根据勾股定理,BE=5,
设CE=x,BC=CE=x,BD²+CD²=BC²,3²+（4-x）²=x²,x= 25/8,
由前所述,OC∥BD,BD⊥DE,故OC⊥DE,
CE是圆O切线,CE²=AE•BE,
AE=（ 25/8）²÷5= 125/64．
∴BO=CO,∠BCO=∠OBC,
∵BC是∠DBE平分线,
∴∠DBC=∠CBA,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥DB,（内错角相等,两直线平行）,
∴ OC/BD=CE/DE,把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC,
∵OC=r,
∴BD•CE=DE•r．
∵∠D=90°,∠E=30°,
∴∠DBE=60°,
∴∠CBE= 1/2∠DBE=30°,
∴∠CBE=∠E,
∴CE=BC,
∴BC•BD=r•ED．
（2）BD=3,DE=4,根据勾股定理,BE=5,
设CE=x,BC=CE=x,BD²+CD²=BC²,3²+（4-x）²=x²,x= 25/8,
由前所述,OC∥BD,BD⊥DE,故OC⊥DE,
CE是圆O切线,CE²=AE•BE,
AE=（ 25/8）²÷5= 125/64．
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