如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,过B作⊙O的切线,与CA延长线交于点D,E是BD中点,延长AE与CB的延长线交于F,

连接AB,OA
DB切圆O于点B,BC为直径
∴DB⊥FC于B
∴∠FBE=∠DBC=90°
而∠BAC为直径BC所对的圆周角
∴∠BAC=90°
∴∠DAB=180°-90°=90°
∴△DAB是直角三角形
而在Rt△DAB中,E是斜边BD的中点
∴AE=BE=BD/2
△ABE是等腰三角形
两底角∠EAB=∠DBA
而∠DBA为圆O切线DB与弦AB所成的弦切角,∠C是弦AB所对的圆周角
故∠DBA=∠C
∴∠EAB=∠C
OA,OC均为圆O半径,有OA=OC
于是,在等腰△AOC中,∠OAC=∠C
∴∠EAB=∠OAC
∴∠FAO=∠EAB+∠BAO=∠OAC+∠BAO=∠BAC=90°
令圆半径为r,
在Rt△AFO中,∠FAO=90°
∴sin∠F=OA/OF=r/(r+6) ①
而在Rt△FBE中,∠FBE=90°
∴sin∠F=BE/EF=3/EF ②
再由勾股定理有：
EF^2=BE^2+BF^2
而BE=3,BF=6
则EF=3根号5
代入②得sin∠F=1/根号5
代入①解得r=6/(根号5-1)
则BC=2r=3(根号5+1)
BD=2*BE=2*3=6
在Rt△DBC中：∠DBC=90°
由勾股定理可得：
CD^2=BD^2+BC^2
代入BC=3(根号5+1),BD=6,可求出：
CD=3根号(10+2根号5)

连接BA，BC是直径，所以BA垂直CD
又因为E是BD中点，所以EB=ED=EA=3
因为BF=6，BE=3
所以EF=3根号5
又因为OE平行于AC（因为O，E分别是BC，BD中点）
所以FE/AE=FO/OC
设半径R则（6+R）/R=根号5
所以BC=2R=3（（根号5）+1） BD=6
CD的平方=36+9*（6+2根号5...

证明：
连接AB，过D作BC的平行线与FE的延长线相交于G，
∵BC是直径
∴∠BAD=90°
∵E是斜边BD的中点
∴AE=(1/2)BD=BE=3
∵DG‖FC
∴DG/BF=EG/EF=DE/BE=1，DG/FC=AG/FA
BE=3,DG=BF=6,EF=3√5，EG=EF=3√5，AG=EG-AE=3√5-3，AF=EF+A...

你的图画的真漂亮！

你连接AB，则构成直角DAB，再过A做BD的垂线，焦点设为G。设CG=x，则AG＝2x（利用相似）。
设AD=y，AB=z，则有（3-x）*6=y^2,（3+x）*6=z^2.
并且有6*2x=y*z （BD*AG=AD*AB）
三个方程组联立，得到，(y*z)^2=（6*2x）^2=（3-x）*6*（3+x）*6
解得x=根号下1.8，y=根号下[（3-根号下1....