（2013•重庆模拟）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．

解题思路：（I）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．
（II）求出g（x）的导数在x=-1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（III）求出不等式，分离出参数A，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围．

（I）g′（x）=3x²+2ax-1由题意3x²+2ax-1＜0的解集是(−
1
3，1)
即3x²+2ax-1=0的两根分别是−
1
3，1．
将x=1或−
1
3代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．（4分）
（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x²-2x-1，∴g′（-1）=4，
∴点p（-1，1）处的切线斜率k=g′（-1）=4，
∴函数y=g（x）的图象在点p（-1，1）处的切线方程为：
y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．（8分）
（III）∵2f（x）≤g′（x）+2
即：2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立
可得a≥lnx−
3
2x−
1
2x对x∈（0，+∞）上恒成立
设h(x)＝lnx−
3
2x−
1
2x，则h′(x)＝
1
x−
3
2+
1
2x2＝−
(−1)(3x+1)
2x2
令h′（x）=0，得x＝1，x＝−
1
3（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值-2
∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．（13分）

点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围．