设函数f(x)＝1+x1−xe−ax

解题思路：（1）根据分式函数的分母不等于0可求出函数的定义域，然后根据分式函数的导数运算法则可求出f′（x）的解析式；
（2）讨论a与2的大小，然后根据导数符号可得函数的单调性；
（3）讨论a与0和2的大小，根据函数的单调性求出函数的最值，然后判定是否满足对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，从而求出a的取值范围．

（1）∵x-1≠0∴f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
f′(x)＝
(e−ax−ae−ax)(1−x)+(1+x)e−ax
(1−x)2＝
ax2+2−a
(1−x)2e−ax（3分）
（2）①当0＜a≤2时，f'（x）≥0，所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上为增函数（4分）
②当a＞2，由f′（x）＞0得ax2+2−a＞0，x＞

a−2
a或x＜−

a−2
a
∴f(x)在(−∞，−

a−2
a)，(

a−2
a，1)，(1，+∞)上为增函数，在(−

a−2
a，

a−2
a)上是减函数（7分）
（2）①当0＜a≤2时，由（1）知，对任意x∈（0，1），恒

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的定义域及其求法；导数的乘法与除法法则．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的定义域及其导函数的求法，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．