（2014•上海模拟）已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=2，Sn为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数

解题思路：（1）由5S₁，S₃，3S₂成等差数列，利用性质建立方程，再用首项与公比将此方程转化为关于公比的等式，解出公比的值得出通项；
（2）依次求出b_n、c_n，根据所得出的形式，裂项求和即可．

（1）设{a_n}的公比为q．
∵5S₁，S₃，3S₂成等差数列，∴2S₃=5S₁+3S₂．
即2(a1+a1q+a1q2)＝5a1+3(a1+a1q)，化简得2q²-q-6=0，
解得：q=2或q＝−
3/2]．由已知，q=2．∴an＝2n．…（6分）
（2）由b_n=log₂a_n得bn＝log22n＝n．
∴cn＝
2
bnbn+1＝
2
n(n+1)＝2(
1
n−
1
n+1)．
∴Tn＝2(1−
1
2+
1
2−
1
3+…+
1
n−
1
n+1)＝2(1−
1
n+1)．…（9分）
∴Tn≤λ(n+4)⇔λ≥
2n
(n+1)(n+4)＝
2
n+
4
n+5…（12分）
∵n+
4
n+5≥2
n•
4
n+5＝9，当且仅当n＝
4
n即n=2时等号成立，
∴[2
n+
4/n+5≤
2
9]．
∴实数λ的取值范围是[
2
9，+∞)．…（14分）

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查等差数列的性质，求和公式，数列求和的技巧，不等式恒成立的转化，综合性质较强，解答时要细致认真，才能解答完整．