（2014•上海模拟）已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1＝pan+n−1(n为奇数)−an−2n(n

解题思路：（1）由已知中b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），结合an+1＝

pan+n−1(n为奇数) −an−2n(n为偶数)

．可得数列是一个等差数列，求出其通项公式后，进一步可得数列{b_n}前n项和T_n；
（Ⅱ）当p=[1/2]时，我们易得数列{c_n}是一个等比数列，但是当p≠

1

2

时，数列{c_n}不为等比数列，根据等比数列的定义，代入易验证结论．
（III）根据（I）、（II）的结论，我们可以根据（S_2n+1-10）c_2n=1，构造一个关于n的方程，利用导数法，我们可以求出方程的根，即可得到结论．

（Ⅰ）据题意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，所以{b_n}成等差数列，故T_n=-2n²-2n（4分）
（Ⅱ）当p＝
1
2时，数列{c_n}成等比数列；当p≠
1
2时，数列{c_n}不为等比数列
理由如下：因为c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，
所以
cn+1
cn＝−p+
2n(1−2p)
cn，故当p＝
1
2时，数列c_n是首项为1，公比为−
1
2等比数列；
当p≠
1
2时，数列{c_n}不成等比数列（9分）
（Ⅲ）当p＝
1
2
时，a2n＝cn＝(−
1
2)n−1，a2n+1＝bn−a2n＝−4n−(−
1
2)n−1（10分）
因为S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=-2n²-2n+2（n≥1）（12分）
∵（S_2n+1-10）c_2n=1，
∴4n²+4n+16=4ⁿ，设f（x）=4^x-4x²-4x-16（x≥2），
则g（x）=f'（x）=4^xln4-8x-4，
∴g'（x）=（ln4）²4^x-8＞0（x≥2），且g（2）=f'（2）＞0，
∴f（x）在[2，+∞）递增，且f（3）=0，f（1）≠0，
∴仅存在惟一的n=3使得（S_2n+1-10）c_2n=1成立（16分）

点评：
本题考点： 等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查的知识点是等比关系的确定，数列的求和，其中熟练掌握等差数列、等比数列的定义，能熟练的判断一个数列是否为等差（比）数列是解答本题的关键．