（2014•上海）已知数列{an}满足[1/3]an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．

（2014•上海）已知数列{an}满足[1/3]an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若[1/3]Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．
yuweihui673 1年前 已收到1个回答 举报
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解题思路：（1）依题意：[1/3a2≤a3≤3a2，又
1
3
a3≤a4≤3a3将已知代入求出x的范围；
（2）先求出通项：an＝qn−1，由
1
3
a1≤a2≤3a1求出
1
3
≤q≤3，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式
1
3]Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．
（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．

（1）依题意：[1/3a2≤a3≤3a2，
∴
2
3≤x≤6；又
1
3a3≤a4≤3a3
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）由已知得，an＝qn−1，
1
3a1≤a2≤3a1，
∴
1
3≤q≤3，
当q=1时，Sn=n，
1
3]Sn≤Sn+1≤3Sn，即[n/3≤n+1≤3n，成立．
当1＜q≤3时，Sn＝
qn−1
q−1]，[1/3]Sn≤Sn+1≤3Sn，即[1/3
qn−1
q−1≤
qn+1−1
q−1≤3
qn−1
q−1]，
∴[1/3≤
qn+1−1
qn−1≤3
不等式

3qn+1−qn−2≥0
qn+1−3qn+2≤0]
∵q＞1，故3qn+1-qn-2=qn（3q-1）-2＞2qn-2＞0对于不等式qn+1-3qn+2≤0，令n=1，
得q2

点评：
本题考点： 等比数列的性质；数列的求和．

考点点评： 本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．

1年前

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