帮忙解决下这个高数题已知b>a>e 求证 a的b次方>b的a次方

hai20041004 1年前已收到2个回答举报

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分析：
要证a^b>b^a,b>a>e
两边取ln对数即证blna>alnb,b>a>e
整理即证[lna]/a>[lnb]/b,b>a>e
考察函数f(x)=[lnx]/x,【只需证明该函数在x>e上为减函数即可】
求导f'(x)=(1-lnx)/x²,令f'(x)=0得唯一驻点x=e,显然x>e有f'(x)e上单调递减
则f(a)>f(b),b>a>e
即[lna]/a>[lnb]/b,b>a>e
还原即得证.

1年前

shashou2006 幼苗

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我用了很初等的方法，没半点高数的影子。
要证明a^b>b^a，
就要证明blna>alnb，
因b>a>e ，
即证明b/a>lna/lnb，
又因b>a>e，得b/a>1,lna/lnb<1
故b/a>lna/lnb成立
由于以上步骤皆可逆，故a^b>b^a成立。

1年前

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