高数题 已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=0证明：在(0,1)内至少存在

应该是f’(a)= - f(a)/a 吧
如果是的话
构造一个函数F(x)= xf(x) 即可
因为f(x)在[0,1]上连续,所以F(x)在[0,1]上连续
F(0)=0f(0)=0
F(1)= f(1)=0
所以F(0)=F(1),所以在（0,1)内至少存在一点a使得F'(a)=0
F'(x)= f(x)+xf'(x)
0=F'(a)= f(a)+af'(a)
即 f'(a)= - f(a)/a
但如果题目真的是f’(a)=f(a)/a 的话 我觉得应该是题目错了
因为反例 f(x)=1-x
显然这个f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=0
但是f’(x)=-10,x>0 所以 f(x)/x >0 肯定不存在这样的一个点a