已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1,F2,p是直线l:x=a
已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1,F2,p是直线l:x=a²/c（c²=a²+b²）上的一点,且PF1⊥PF2,绝对值PF1乘绝对值PF2=4ab,则离心率是?
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直线l与x轴交点M,∵PM⊥F1F2,PF1⊥PF2,∴2*F1F2*PM = S△PF1F2 = 2*PF1*PF2
∴2*2c * PM = 2*4ab,∴PM = 2ab/c,
∴k(PF1) * k(PF2) = -1 = {(2ab/c)/[(a^2/c) + c]} * {(2ab/c)/[(a^2/c) - c]}
∴c^2 - (a^4/c^2) = 4(ab)^2/c^2,∴c^4 - a^4 = 4a^2b^2 = 4a^2 * (c^2 - a^2)
∴c^4 - 4a^2c^2 + 3a^4 = 0,结合c>a取正数解c^2 = 3a^2,∴e = √3
∴2*2c * PM = 2*4ab,∴PM = 2ab/c,
∴k(PF1) * k(PF2) = -1 = {(2ab/c)/[(a^2/c) + c]} * {(2ab/c)/[(a^2/c) - c]}
∴c^2 - (a^4/c^2) = 4(ab)^2/c^2,∴c^4 - a^4 = 4a^2b^2 = 4a^2 * (c^2 - a^2)
∴c^4 - 4a^2c^2 + 3a^4 = 0,结合c>a取正数解c^2 = 3a^2,∴e = √3
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