已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点， d = (1， 2 ) 是它的一条渐近线的一个方向向量．

（1）设双曲线C的方程为
x 2
a 2 -
y 2
b 2 =1(a＞0，b＞0) ，则a=1，
又
b
a =
2 ，得 b=
2 ，所以，双曲线C的方程为 x 2 -
y 2
2 =1 ．
（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），

DA =(-4，4)，

DB =(-4，-4) ，所以

DA •

DB =0．
当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），
由

y=k(x+3)
2 x 2 - y 2 =2 得（2-k ² ）x ² -6k ² x-9k ² -2=0．
设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），则 x 1 + x 2 =
6 k 2
2- k 2 ， x 1 • x 2 =
-9 k 2 -2
2- k 2 ，
故

DA •

DB =( x 1 -1)( x 2 -1)+ y 1 y 2 =( x 1 -1)( x 2 -1)+ k 2 ( x 1 +3)( x 2 +3) = ( k 2 +1) x 1 x 2 +(3 k 2 -1)( x 1 + x 2 )+9 k 2 +1 = ( k 2 +1)
-9 k 2 -2
2- k 2 + (3 k 2 -1)
6 k 2
2- k 2 +9k ² +1=0．
综上，

DA •

DB =0．
（3）证明：设直线MN的方程为：x=my+t，
由

x=my+t
b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 ，得（b ² m ² -a ² ）y ² +2b ² mty+b ² （t ² -a ² ）=0，
设M（x ₁ ，y ₁ ），N（x ₂ ，y ₂ ），则 y 1 + y 2 =
-2 b 2 mt
b 2 m 2 - a 2 ， y 1 y 2 =
b 2 ( t 2 - a 2 )
b 2 m 2 - a 2 ，分
由EM⊥EN，得（x ₁ -a）（x ₂ -a）+y ₁ y ₂ =0，（my ₁ +t-a）（my ₂ +t-a）+y ₁ y ₂ =0
即 (1+ m 2 ) y 1 y 2 +m(t-a)( y 1 + y 2 )+(t-a ) 2 =0 ， (1+ m 2 )
b 2 ( t 2 - a 2 )
b 2 m 2 - a 2 -m(t-a)
2 b 2 mt
b 2 m 2 - a 2 +(t-a ) 2 =0 ，
化简得， t=
a( a 2 + b 2 )
a 2 - b 2 或t=a（舍），
所以，直线MN过定点（
a( a 2 + b 2 )
a 2 - b 2 ，0）．