高中立体几何.已知正△ABC外有一点P,PA⊥平面ABC

高中立体几何.已知正△ABC外有一点P,PA⊥平面ABC
已知在正△ABC所在平面外有一点P,PA⊥平面ABC,AO⊥平面PBC,求证：点O不是△PBC的垂心
反证法这一节的题目,
宁与静 1年前 已收到1个回答 举报
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fafs 春芽

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证明,用反证法,假设O是PBC的垂心.
连接BO并延长,交PC于D.
因为AO垂直平面PBC,所以AO垂直PC.
又因为O是垂心,且O在BD上,所以BD垂直PC.
所以PC垂直平面AOB,因此PC垂直AB.
又因为PA垂直底面ABC,所以PA垂直AB.
所以AB垂直平面PAC,因此AB垂直AC.
所以三角形ABC是直角三角形.
但根据已知,三角形ABC是正三角形,所以矛盾.
原假设不成立,所以O不是三角形PBC的垂心.

1年前

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