已知函数f（x）=x2-lnx．

解题思路：（1）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．
（3）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数g（x）的最小值是3，即可求出a的值．

（1）∵f（x）=x²-lnx
∴f′（x）=2x-[1/x]．
∴f'（1）=1．
又∵f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=x-1．即x-y=0．
（2）因为函数f（x）=2x²-lnx的定义域为（0，+∞），
由f′（x）=2x-[1/x]＜0，得0＜x＜

2
2．
所以函数f（x）=x²-lnx的单调递减区间是（0，

2
2）．
（3）∵g（x）=ax-lnx，∴g′（x）=[ax−1/x]，令g′（x）=0，得x=[1/a]，
①当[1/a]≥e时，即0＜a≤[1/e]时，g′（x）=[ax−1/x]≤0在（0，e]上恒成立，
则g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=[4/e]（舍去），
②当0＜[1/a]＜e时，即a＞[1/e]时，列表如下：

由表知，g（x）_min=g（ [1/a]）=1+lna=3，a=e²，满足条件．
综上，所求实数a=e²，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．