已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为22．以原点为圆心，椭圆的短轴长为
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为
．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+
=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A、M、N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．求证：直线l过定点（2，0）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A、M、N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．求证：直线l过定点（2，0）．
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解题思路：（I）由题意知e=[c/a]=
，b=
＝1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由
得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2−2)＝0．由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线过定点（2，0）．
| ||
| 2 |
| ||
|
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由
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（I）由题意知e=[c/a]=
2
2，
所以e2＝
c2
a2＝
a2−b2
a2 ＝
1
2．即a2=2b2．
又因为b=
2
1+1＝1，所以a2=2，b2=1．
故椭圆C的方程为
x2
2+y2＝1．（6分）
（Ⅱ）证明：由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
y＝kx+m
x2+2y2＝2得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2−2)＝0．
由△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）＞0，得m2＜2k2+1．
则有x1+x
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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