（2008•杨浦区二模）（理）已知向量a＝(x2+1，−x)，b＝(1，2n2+1) （n为正整数），函数f(x)＝a&

解题思路：（1）根据平面向量数量积的坐标公式，代入得f（x）=(x2+1)−2x

n 2+1

是一个关于x二次函数，其图象是开口向上抛物线，在对称轴处函数取到最小值，由二次函数对称轴方程，得到数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（1）的结论，将an＝

n2+1

代入b_n的表达式，得到bn＝

1

2

[

1

2n−1

−

1

2n+1

]，用裂项的方法求出其前n项和S_n的表达式，最后可得其极限

lim

n→∞

Sn的值；
（3）对于这类问题，我们可以先假设存在满足条件的数对（i，j），然后再进行推理可得结论．具体作法：任取A_i、A_j（i、j∈N^*，i≠j），设A_iA_j 所在直线的斜率为k_ij，则 kij＝

i+j

i2+1 + j2+1

＜1，从而得到不存在满足条件的数对（i，j），得出结论．

（1）f（x）=(x2+1)−2x
n 2+1…（2分）
函数y=f（x）的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为x＝
n2+1＞0，
开口向上，在（0，+∞） 上，当x＝
n2+1 时函数取得最小值，
所以an＝
n2+1；…（4分）
（2）将（1）中{a_n}的表达式代入，得bn＝
1
4(n2+1)−5＝
1
4n2−1＝
1
(2n+1)(2n−1)＝
1
2[
1
2n−1−
1
2n+1]．…（6分）
∴Sn＝
1
2[(1−
1
3)+(
1
3−
1
5)+…+(
1
2n−1−
1
2n+1)]，…（8分）
所以所求的极限为：
lim
n→∞Sn＝
lim
n→∞
1
2(1−
1
2n+1)=

点评：
本题考点： 数列与向量的综合；数列的求和；数列的极限；数列与解析几何的综合．

考点点评： 本题综合了数列与向量、数列与函数以及数列的极限等知识点，是一道难题．对思维的要求较高，考查了转化化归和函数与方程的数学思想．