（2012•杨浦区二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭

解题思路：（1）由已知点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形，可求几何量，从而可求椭圆方程；
（2）确定点P、PM的中点坐标之间的关系，利用点P是椭圆C上一动点，即可求得线段PM的中点Q的轨迹方程；
（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程代入椭圆方程，利用韦达定理及k₁+k₂=8，可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点；若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，求出直线AB的方程，即可得到结论．

（1）由已知可得 b=2，a2＝(
2b)2＝8，…（2分）
∴所求椭圆方程为
x2
8+
y2
4＝1．…（4分）
（2）设点P（x₁，y₁），PM的中点坐标为Q（x，y），则
x12
8+
y12
4＝1…（6分）
由x＝
0+x1
2，y＝
2+y1
2得x₁=2x，y₁=2y-2代入上式得
x2
2+(y−1)2＝1…（10分）
（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．
设A（x₃，y₃），B（x₂，y₂），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．…（11分）
则x3+x2＝−
4km
1+2k2，x3x2＝
2m2−8
1+2k2．
∵k₁+k₂=8，∴
y3−2
x3+
y2−2
x2=8，
∴2k+（m-2）×
x1+x2
x1x2=8．…（12分）
∴k-

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，正确运用韦达定理是关键．