（2012•昌平区二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，过点B（0，1），离心率为223．
（2012•昌平区二模）已知椭圆C：
+
＝1(a＞b＞0)，过点B（0，1），离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点P（0，2）的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，且使
＝
成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
2
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点P（0，2）的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，且使
| PM |
| 1 |
| 2 |
| PN |
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解题思路：（Ⅰ）根据椭圆过点B（0，1），离心率为
，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）根据
＝
，可得点M为PN的中点，再分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得直线l的方程．
2
| ||
| 3 |
（Ⅱ）根据
| PM |
| 1 |
| 2 |
| PN |
（Ⅰ）由题意可知b=1，
c
a＝
1−(
b
a)2＝
1−
1
a2＝
2
2
3，解得a2=9
故椭圆M的方程为
x2
9+y2＝1…（4分）
（Ⅱ）∵
PM＝
1
2
PN，∴点M为PN的中点，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则 x2=2x1①…（5分）
（1）当直线的斜率k不存在时，M（0，1），N（0，-1），P（0，2），不符合条件，此时直线方程不存在．…（7分）
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+2
由
y＝kx+2
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，正确运用韦达定理是关键．
1年前
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