（2012•宿州三模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（-1，0），F2（1，0），并且经

（2012•宿州三模）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），并且经过点P（1，[3/2]）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=r²（b＜r＜a），若直线l与椭圆C只有一个公共点M，且直线l与圆O相切于点N；求|MN|的最大值．

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走夜路不怕黑花朵

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解题思路：（Ⅰ）依题意，a²-b²=1，将点P（1，

3/2]）代入

=1得：[1

9/4

＝1，由此可得C的方程；
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+t，由直线l与圆O相切，得t²=（1+k²）r²，由直线方程代入椭圆方程，利用直线l与椭圆C相切，可得xM＝−

t]，进而根据ON⊥MN，可得|MN|²=|OM|²-|ON|²=

4k2

3+4k2

+3−r2，利用基本不等式，即可求得结论．

（Ⅰ）依题意，a²-b²=1①，将点P（1，[3/2]）代入
x2
a2+
y2
b2=1得：[1
a2+

9/4
b2＝1②
由①②解得a²=4，b²=3，故C的方程为
x2
4+
y2
3＝1．…（5分）
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+t，
由直线l与圆O相切，得r＝
|t|

1+k2]，∴t²=（1+k²）r²①…（7分）
由直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0（*），
因为直线l与椭圆C相切，所以△=（8kt）²-4（3+4k²）（4t²-12）=0，得t²=3+4k²②，将②代入（*）式，
解得xM＝−
4k
t．…（9分）
由ON⊥MN，可得|MN|²=|OM|²-|ON|²=
4k2
3+4k2+3−r2③，…（11分）
由①②可得k2＝
r2−3
4−r2④，将④代入③得|MN|²=7-r²-[12
r2≤7-4
3，
当且仅当r²=2

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，确定方程，正确运用基本不等式是关键，属于中档题．

1年前

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