若函数y=f(x)对任意xy∈R恒有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)指出y=f（x）的奇偶性,并证明

若函数y=f(x)对任意xy∈R恒有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)指出y=f（x）的奇偶性,并证明
（2）若x>0时,f（x）<0,证明f（x）的单调性
（3）在（2）的条件下,若对任意实数x,恒有f（kx)+f（-x平方+x-2)>0成立,求k的取值范围
零点天使 1年前 已收到2个回答 举报
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6515316 幼苗

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（1）令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0；
令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x),因此f(x)为奇函数.
（2）对于任意的x1,x2∈R,不妨设x10,f(x2-x1)0,f(kx-x^2+x-2)>0,故有kx-x^2+x-20.由于恒有f（kx)+f（-x平方+x-2)>0成立,故x^2-(k+1)x+2>0恒成立,意味着判别式小于0,则有(k+1)^2-4*2

1年前 追问

5

零点天使 举报

那个判别式小于0？

举报 6515316

x^2-(k+1)x+2>0的判别式小于0，即(k+1)^2-4*2<0,

tqxhk 幼苗

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取x=y=0得f（0）=0，令x=-y得到f（x）+f（-x）=0，为奇函数。
那么令x1>x2>0，此时f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）<0，即递减；又因为是奇函数，所以在R上都递减。
化为f（-x^2+(k+1)x,-2）>0，即-x^2+(k+1)x-2<0，恒成立意味着判别式小于0，由此可得k的范围（-2*根号2 - 1,2根号*2 - 1...

1年前

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