dickhzh
幼苗
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三楼的方法已经足以帮助你完成证明,不过这个问题有很多值得一提的东西,所以我随便给你写点.
(a) 从你的叙述来看,想必你知道如何按照Cauchy提出的方法(自然数->整数->有理数->实数)逐步求g(x)+g(y)=g(x+y)的连续解.
既然如此,首先应该设法将新问题转化到已解决的问题,这里应该先令g(x)=f(x)-f(0)
那么易得g(2x)=g(x),再得到g(x+y)=g(x)+g(y).
(b) 对于你的问题(2),把f转化到g之后就可以直接用归纳法得到你想要的结论,这和三楼的方法本质上一样,只是结论更广泛.
(c) 不要太过拘泥于Cauchy原来的方法,比如说你已经证明了整数集上f(x)的形式,有些时候讨论f(2x)和f(x)的关系要比直接讨论有理数容易得多,在这种情况下只需要证明f(x)在所有二进制有限小数上的性质(即所有m/2^k型的有理数),再结合连续性或单调性仍然可以直接延拓到实轴,没有必要很教条地去讨论有理数.
(d) 你的问题(1)和原问题难度相当,因为完全等价,并且和证明Cauchy方程的连续解必定是线性函数也等价,所以一定是需要某些相对复杂或很有技巧的方法才能实现,我后面会给你一种方法.
(e) 与问题(1)相关的还有两个结论,你可以拿去作为练习
1. R^n上的凸函数必定连续.
2. 若f定义在R^n上,既是凸函数又是凹函数,那么f必定是仿射函数(即f(x)-f(0)是线性函数).
(f) Cauchy函数方程连续解的求法有很多,事实上只需要“f稍微有那么点比较连续的性质”(比如说任何局部的单调性、可积性、Lebesgue可测性等)就可以证明f是线性函数.
举个例子来说,假定g连续且满足Cauchy函数方程,那么
int_[x,x+1] g(y) dy = int_[0,1] g(y) dy + g(x)
所以g(x)可导(因为左端可导).再对给定的y,对g(x+y)=g(x)+g(y)求导得
g'(x+y)=g'(x)
于是g''(x)=0.
当然还有很多别的方法,你有兴趣自己去看相关文献,不过在此之前先得把数学分析的基础打打扎实.
1年前
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