已知函数f（x）=ln[x/2]-f′（1）x+1，x∈（0，+∞）．

（1）∵f′(x)=
1
x-f′(1)，
∴f'（1）=1-f'（1），f′(1)=
1
2，
则f′(2)=
1
2-
1
2=0；
（2）由（1）知f(x)=ln
x
2-
1
2x+1，导数 f′(x)=
1
x-
1
2=
2-x
2x．
∴当x＞2时，f'（x）＜0，当0＜x＜2时，f'（x）＞0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，2），
单调递减区间为（2，+∞），极大值为f（2）=0；
（3）∵g'（x）=2x-3a（a≥1），
∴当x∈（0，1）时，g'（x）=2x-3a＜0，g（x）单调递减，
此时g（x）值域为（2a²-3a-4，2a²-5）．
由（1）得，当x∈（0，2）时，f（x）值域为（-∞，0），
由于对于任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，
即有（2a²-3a-4，2a²-5）⊆（-∞，0），
即2a²-5≤0，所以1≤a≤

10
2．

点评：
本题考点： A:利用导数研究函数的单调性 B:利用导数研究函数的极值

考点点评： 本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查恒成立和存在性问题，注意转化为求函数的最值或值域问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．