设二次型f(x1,x2,x3)=3x1^2+2x2^2+3x3^2+2ax1x3(a>0)通过正交变换X=PY化为标准型

设二次型f(x1,x2,x3)=3x1^2+2x2^2+3x3^2+2ax1x3(a>0)通过正交变换X=PY化为标准型2y1^2+y2^2+5y3^2.试求a及正交变换矩阵P.

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你给的题目好麻烦啊!
解: 二次型的矩阵 A=
3 0 a
0 2 0
a 0 3
由已知, A的特征值为2,1,5
所以 |A-E|=4-a^2=0
所以 a=±2.
a=2 时
A=
3 0 2
0 2 0
2 0 3
对应的特征向量为 (0,1,0)^T, (1,0,-1)^T, (1,0,1)^T
将其单位化即得所求正交矩阵P.
a=-2 时
A=
3 0 -2
0 2 0
-2 0 3
对应的特征向量为 (0,1,0)^T, (1,0,1)^T, (1,0,-1)^T
将其单位化即得所求正交矩阵P.

1年前追问

afwrf 举报

嘿嘿谢谢老师，不过Y=P^TAP的吗，为什么题目里是Y=P^-1A，我自己算的和您写的一样，可是最后我看到Y=P^-1A时，我把P和A带进去不等于Y，我就以为自己做错了。

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晕你都算出来了还让我做特征向量要单位化 X=PY P^-1AP=diag(2,1,5) 不明白你代的什么

afwrf 举报

不是的，刚才发题的时候还没做，因为没想明白题目中给的X=PY和Y=P^-1AP有什么关系。

举报 HitVirus

f = X^TAX = (PY)^TA(PY) = Y^T(P^TAP)Y

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