已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点P满足：∠APB=2θ，且存在正常数m，使得|PA|•|PB|cos2θ=m．

解题思路：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，由此推导出动点P的轨迹为以A，B为两焦点的椭圆，从而求出动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）由

y＝x+1 x2 1+m + y2 m ＝1

，得（2m+1）x²+2（m+1）x+（1-m²）=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由题设条件知D（0，1），由此入手能够求出m．

（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∵|AB|=2，|PA|•|PB|cos²θ=m，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）²-4m，
∴|PA|+|PB|=2
1+m＞2=|AB|，
即动点P的轨迹为以A，B为两焦点的椭圆，
∴动点P的轨迹C的方程为
x2
1+m+
y2
m＝1．
（Ⅱ）由

y＝x+1

x2
1+m+
y2
m＝1，得（2m+1）x²+2（m+1）x+（1-m²）=0，（*）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由题设条件知D（0，1），
则x1+x2＝
−2(m+1)
2m+1，①
x1•x2＝
1−m2
2m+1，②
∵

DE＝(2+
3)

DF，∴（x₁，y₁-1）=（2+
3）（x₂，y₂-1），
∴x1＝(2+
3)x2，③
将③代入①，②得

(3+
3)x2＝
−2(m+1)
2m+1
(2+
3)x22＝
1−m2
2m+1，
∵m＞0，∴m=[1/2]，
代入（*）方程△＞0，故m=[1/2]．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评： 本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题．一般是直线与圆锥曲线的方程联立消去y，得到两根之和与两根之积的关系式，再结合题中所给条件解题．