n(a1+an) |
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miao2849 幼苗
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(1)a1=6+a,(1分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3•2n-3•2n-1=3•2n-1(2分),
因为数列{an}为等比数列,所以a1满足an的表达式,即6+a=3•20,a=-3;(4分)
(2)逆命题:数列{an}是非常数数列,若其前n项和Sn=Aan+B(A,B为常数),则该数列是等比数列
判断:是假命题. (7分)
直接举反例,当A=0,B≠0时,数列{an}为:B,0,0,0,
故其前n项和满足Sn=Aan+B(A,B为常数),但不是等比数列;(10分)
(3)逆命题:若数列{an}的前n项和Sn=
n(a1+an)
2,则该数列是等差数列.
为真命题. (12分)
证明:n=3时,由2(a1+a2+a3)=3a1+3a3⇒2a2=a1+a3,命题成立,(13分)
假设n=k,(k≥3),Sk=
k(a1+ak)
2时,数列{an}是等差数列,
当n=k+1时,2(Sk+ak+1)=(k+1)(a1+ak+1),设ak=a1+(k-1)d
则(k-1)ak+1=(k-1)(a1+kd)…(16分)ak+1=a1+kd,即当n=k+1时,命题成立,(17分)
由数学归纳法可知,逆命题成立.(18分)
点评:
本题考点: 等比数列的前n项和;四种命题;数列的函数特性;等差数列的前n项和.
考点点评: 此题考查了等比、等差数列的性质,数列的递推式,命题与逆命题的关系,以及数学归纳法的运用,要说明一个命题为假命题,只需举一个反例即可,要证明一个命题为真命题需要严格的证明.
1年前