（2012•浦东新区一模）设满足条件P：an+an+2≥2an+1(n∈N*)的数列组成的集合为A，而满足条件Q：an+
（2012•浦东新区一模）设满足条件P：an+an+2≥2an+1(n∈N*)的数列组成的集合为A，而满足条件Q：an+an+2＜2an+1(n∈N*)的数列组成的集合为B．
（1）判断数列{an}：an=1-2n和数列{bn}：bn＝1−2n是否为集合A或B中的元素？
（2）已知数列an＝(n−k)3，研究{an}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；若不是，请说明理由．
（3）已an＝31(−1)i•log2n(i∈Z，n∈N*)，若{an}为集合B中的元素，求满足不等式|2n-an|＜60的n的值组成的集合．
（1）判断数列{an}：an=1-2n和数列{bn}：bn＝1−2n是否为集合A或B中的元素？
（2）已知数列an＝(n−k)3，研究{an}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；若不是，请说明理由．
（3）已an＝31(−1)i•log2n(i∈Z，n∈N*)，若{an}为集合B中的元素，求满足不等式|2n-an|＜60的n的值组成的集合．
赞 fjtx021324 幼苗
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解题思路：（1）根据an=1-2n，可得an+an+2＝2an+1(n∈N*)，从而可得{an}为集合A中的元素；同理可得bn+bn+2＜2bn+1，故{bn}为集合B中的元素；
（2）计算an+an+2-2an+1=6（n+1-k），分类讨论：当k≤2时，{an}∈A；设[k]为不超过k的最大整数，令n=[k]+1，n+1-k＞0，可得{an}∉A，{an}∉B；
（3）由|2n-an|=|2n-31log2n|＜60，令cn=2n-31log2n，作差，可确定当n≥22时，cn+1＞cn，当n＜21时，cn+1＜cn，由此可得满足不等式|2n-an|＜60的n的值组成的集合．
（2）计算an+an+2-2an+1=6（n+1-k），分类讨论：当k≤2时，{an}∈A；设[k]为不超过k的最大整数，令n=[k]+1，n+1-k＞0，可得{an}∉A，{an}∉B；
（3）由|2n-an|=|2n-31log2n|＜60，令cn=2n-31log2n，作差，可确定当n≥22时，cn+1＞cn，当n＜21时，cn+1＜cn，由此可得满足不等式|2n-an|＜60的n的值组成的集合．
（1）∵an=1-2n∴an+an+2=（1-2n）+[1-2（n+2）]=-4n-2，2an+1=2[1-2（n+1）]=-4n-2∴an+an+2＝2an+1(n∈N*)∴{an}为集合A中的元素，即{an}∈A．…（2分）bn+bn+2＝(1−2n)+(1−2n+2)＝2−5×2n，2bn+1＝2(1−2n+1)...
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．
考点点评： 本题考查数列与不等式的综合，考查新定义，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是理解新定义，属于中档题．
1年前
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