我又遭喝醉了 花朵
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证明:(1)令h(x)=(1+x)α-αx-1,
h'(x)=α(1+x)α-1-α=α[(1+x)α-1-1],
当α=1时,不等式显然成立;
当α>1时,(1+x)α-1-1单调递增,
当x=0时,h'(x)=0,
当x∈(-1,0),h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(0,+∞),h'(x)>0,h(x)单调递增.
∴x=0是h(x)的唯一极小值点,
∴h(x)≥h(0)=0,(1+x)α≥αx+1恒成立;
(2)当a=b,不等式显然成立;
当a≠b时,不妨设a<b,
则aa+bb≥ab+ba⇔aa-ab≥ba-bb,
令φ(x)=xa-xb,x∈[a,b]
下证φ(x)是单调减函数.
∵φ′(x)=axa-1-bxb-1=axb-1(xa-b-[b/a])
易知a-b∈(-1,0),1+a-b∈(0,1),[1/1+a−b]>1,
由(1)知当t>1,(1+x)t>1+tx,x∈[a,b],
∴b
1
1+a−b=[1+(b−1)]
1
1+a−b>1+[b−1/1+a−b]=[a/1+a−b]>a,
∴b>a1+a-b,∴[b/a]>aa-b≥xa-b,
∴φ'(x)<0,
∴φ(x)在[a,b]上单调递减.
∴φ(a)>φ(b),
即aa-ab>ba-bb,
∴aa+bb>ab+ba.
综上,aa+bb≥ab+ba成立.
点评:
本题考点: 不等式的证明.
考点点评: 考查不等式的证明,考查运用导数判断函数的单调性,证明不等式的方法,构造函数是解题的关键.
1年前
1年前2个回答
1年前1个回答
1年前1个回答
1年前2个回答
1年前2个回答
1年前3个回答
1年前2个回答
求数学各种复杂函数求导公式不分文理…希望得到最全面的求导公式
1年前5个回答
你能帮帮他们吗