（2013•昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC

解题思路：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x-2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，94），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=94，N′P=AQ=3，将y=-94代入得：-94=-34x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．

（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x-2）²+3，
将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=-[3/4]，
则抛物线解析式为y=-[3/4]（x-2）²+3=-[3/4]x²+3x；

（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（4，0）与C（0，3）代入得：

4k+b＝0
b＝3，
解得：

k＝−
3
4
b＝3，
故直线AC解析式为y=-[3/4]x+3，
与抛物线解析式联立得：

y＝−
3
4x+3
y＝−
3
4x2+3x，
解得：

x＝1
y＝
9
4或

x＝4
y＝0，
则点D坐标为（1，[9/4]）；

（3）存在，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如答图1所示：

四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，
由对称性得到M（3，[9/4]），即DM=2，故AN=2，
∴N₁（2，0），N₂（6，0）；
②当点M在x轴下方时，如答图2所示：

过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=[9/4]，NP=AQ=3，
将y_M=-[9/4]代入抛物线解析式得：-[9/4]=-[3/4]x²+3x，
解得：x_M=2-
7或x_M=2+
7，
∴x_N=x_M-3=-
7-1或
7-1，
∴N₃（-
7-1，0），N₄（
7-1，0）．
综上所述，满足条件的点N有四个：N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（-
7-1，0），N₄（
7-1，0）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．