在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别 在x轴和y轴上（如图）,且 OC=1,OA=a 1
在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别 在x轴和y轴上（如图）,且 OC=1,OA=a 1
在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别 在x轴和y轴上（如图）,且 OC=1,OA=a+1（a＞1）,点D在边OA上,满足 OD=a．分别以OD、OC为 长、短半轴的椭圆在矩形及 其内部的部分为椭圆弧CD． 直线l：y=-x+b与椭圆弧相切,与OA交于点E．
（1）求证：b 2 -a 2 =1； （2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分,求直线l的方程； （3）在（2）的条件下,设圆M在矩形及其内部,且与l和线段EA都 相切,求面积最大的圆M的方程．
在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别 在x轴和y轴上（如图）,且 OC=1,OA=a+1（a＞1）,点D在边OA上,满足 OD=a．分别以OD、OC为 长、短半轴的椭圆在矩形及 其内部的部分为椭圆弧CD． 直线l：y=-x+b与椭圆弧相切,与OA交于点E．
（1）求证：b 2 -a 2 =1； （2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分,求直线l的方程； （3）在（2）的条件下,设圆M在矩形及其内部,且与l和线段EA都 相切,求面积最大的圆M的方程．
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(1)当y=0时,0=－2x+4 ∴A的坐标为（2,0）
当x=0时,y=－2x+4=4 ∴C的坐标为（0,4）
（2）设AD=x ∴BD=4－x ∴CD²=4+16+x²－8x
∵CD=AD ∴4+16+x²－8x=x² ∴x=2.5
设CD的函数解析式为y=kx+b (k、b均为常数,k≠0）
由题意得4=b ∴k=－0.75
2.5=2k+b b=4
∴所求函数解析式为y=－0.75x+4
(3)存在,P1（0,0）,P2（16/5,8/5),P3(－6/5,12/5)
作P2⊥x轴,延长CB交于F,设P2的坐标为（x,y)
由题意得(x－2)²+y²=2²
(4－y)²+x²=4²
∴x=2y
代入y=－0.75x+4得 y=－0.75×2y+4
∴y=8/5,x=16/5 ∴P2的坐标为（16/5,8/5）
同理得,P3的坐标为（－6/5,12/5）
当x=0时,y=－2x+4=4 ∴C的坐标为（0,4）
（2）设AD=x ∴BD=4－x ∴CD²=4+16+x²－8x
∵CD=AD ∴4+16+x²－8x=x² ∴x=2.5
设CD的函数解析式为y=kx+b (k、b均为常数,k≠0）
由题意得4=b ∴k=－0.75
2.5=2k+b b=4
∴所求函数解析式为y=－0.75x+4
(3)存在,P1（0,0）,P2（16/5,8/5),P3(－6/5,12/5)
作P2⊥x轴,延长CB交于F,设P2的坐标为（x,y)
由题意得(x－2)²+y²=2²
(4－y)²+x²=4²
∴x=2y
代入y=－0.75x+4得 y=－0.75×2y+4
∴y=8/5,x=16/5 ∴P2的坐标为（16/5,8/5）
同理得,P3的坐标为（－6/5,12/5）
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