设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2，

解题思路：（1）由已知中关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，由韦达定理可得x₁+₂=-[1/a]，x_1•x₂=[1/a]，代入（1+x₁）（1+x₂）的展开式，即可求出（1+x₁）（1+x₂）的值．
（2）由已知结合一元二次方程根的个数与△符号的关系，可得△≥0，进而可以判断出a的取值范围，进而判断出f（-1）=a＞0，进而得到x₁＜-1且x₂＜-1；
（3）结合（1）（2）的结论，我们可以给出a的表达式，进而根据二次函数的性质，得到a的最大值．

（1）∵关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，
由韦达定理可得x₁+₂=-[1/a]，x_1•x₂=[1/a]，
（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁•x₂=1-[1/a]+[1/a]=1
（2）由方程的△≥0，可推得二次函数f（x）=ax²+x+1图象的对称轴
x＝−
1
2a＜−1，又由于f（-1）=a＞0，
所以f（x）的图象与x轴的交点均位于（-1，0）的左侧，故得证；
（3）结合（1）的结论可得，−
1
x2∈[
1
11，
10
11]，
而a＝
1
x1x2＝−[(−
1
x2)−
1
2]2+[1/4]．
所以a的最大值为[1/4]．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数关系，其中（1）的关键是由韦达定理求出x1+2=-[1/a]，x1•x2=[1/a]，（2）的关键是根据△≥0，判断出a的取值范围，（3）的关键是结合（1）（2）的结论，给出a的表达式．