设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．

解题思路：（1）把（1+x₁）（1+x₂）展开，再利用根与系数的关系即可得出；
（2）令f（x）=ax²+x+1，由△＝1−4a≥0得0＜2a≤

1

2

，可得抛物线f（x）的对称轴x＝−

1

2a

≤−2＜−1．又f（-1）=a＞0，可知f（x）图象与x轴的交点都在点（-1，0）的左侧，即可得出．
（3）由（1）可得，x1＝

1

1+x2

−1＝−

x2

1+x2

．于是

x1

x2

＝−

1

1+x2

∈[

1

10

，10]，所以−

1

x2

∈[

1

11

，

10

11

]．进而得到a＝

1

x1x2

＝−

1+x2

x 2 2

＝−[(−

1

x2

)−

1

2

]2+

1

4

，利用二次函数的性质即可得出．

（1）∵关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂．
∴x1+x2＝−
1
a，x1x2＝
1
a．
∴(1+x1)(1+x2)＝1+(x1+x2)+x1x2＝1−
1
a+
1
a＝1．
（2）令f（x）=ax²+x+1，由△＝1−4a≥0得0＜2a≤
1
2，
∴抛物线f（x）的对称轴x＝−
1
2a≤−2＜−1．
又f（-1）=a＞0，所以f（x）的图象与x轴的交点都在点（-1，0）的左侧，
故x₁＜-1，且x₂＜-1．
（3）由（1），x1＝
1
1+x2−1＝−
x2
1+x2．

x1
x2＝−
1
1+x2∈[
1
10，10]，所以−
1
x2∈[
1
11，
10
11]．
∴a＝
1
x1x2＝−
1+x2
x
22＝−[(−
1
x2)−
1
2]2+
1
4，
故当−
1
x2＝
1
2时，a取得最大值为[1/4]．

点评：
本题考点： 根与系数的关系．

考点点评： 熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系等是解题的关键．