已知函数f（x）=ax2+3x+b（a＜0，a、b∈R）．设关于x的方程f（x）=0的两个实根分别为α、β

（1）由题意可得α、β是ax²+3x+b=0 的两个根，
∴

△＝9−4ab＞0
α+β＝−
3
a
αβ＝
b
a，
∵|α-β|=1，∴|α-β|²=|α+β|²-4αβ=1，
即a²+4ab=9，（a＜0）．
（2）由（1）知a（a+4b）=9且a，b均为负整数，
故

a＝−1
a+4b＝−9或

a+4b＝−1
a＝−9（舍）或

a＝−3
a+4b＝−3（舍），
解得a=-1，b=-2，
∴f（x）=-x²+4x-2．
（3）方程f（x）=（2m+2）x+2m+4，
即x²+（2m-2）x+2m+6=0，
方程至少有一个正根，有三种可能：
①有两个正根，此时可得

△≥0
f(0)＞0

2(m−1)
−2＞0，即

m≤−1或m≥5
m＞−3
m＜1，
∴-3＜m≤-1，
②有一个正根，一个负根，此时可得f（0）＜0，得m＜-3，
③有一个正根，另一根为零，此时可得

6+2m＝0
2(m−1)＜0，
即

m＝−3
m＜1，
综合上述三种情况的m≤-1．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．