设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…

解题思路：（1）根据x=e为函数y=f（x）的极大值点，得到方程=（x-a）（2ln x+1-[a/x]）的根为e，根据根的定义，求出a值，最后根据极值的情况验证结果．
（2）首先对函数求导，代入所给的x=e的条件，得到曲线y=f（x）在x=e处的切线方程，做出切线与x轴、y轴的交点坐标，表示出三角形的面积关于a的等式，即可求得a值．
（3）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[e，2e]上为减函数，[2e，e²]上为增函数．从而求出最小值，最大值即可．

（1）求导得f'（x）=2（x-a）lnx+
(x−a)2
x=（x-a）（2ln x+1-[a/x]）．
因为x=e是f（x）的极值点，所以f'（e）=(e−a)(3−
a
e)＝0，解得a=e或a=3e，经检验，a=3e，符合题意．（要有检验过程）
（2）f'（x）=2（x-a）lnx+
(x−a)2
x，
当x=e时，f'（e）=2（e-a）+
(e−a)2
e，f（e）=（e-a）²lne=（e-a）²，
所以曲线y=f（x）在x=e处的切线方程为y-（e-a）²=[2（e-a）+
(e−a)2
e]（x-e），
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（
2e2
3e−a，0），（0，-2e（e-a）），
∴所求面积为[1/2×|
2e2
3e−a|×|−2e(e−a)|＝2e3．
解之得，a=2e．
（3）在（2）的条件a=2e下，
f（x）=（x-2e）²lnx，f'（x）=2（x-2e）lnx+
(x−2e)2
x]，
对于x∈[e，2e]，有f'（x）＜0，∴f（x）在区间[e，2e]上为减函数．
对于x∈[2e，e²]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[2e，e²]上为增函数．
∴f(x)max＝f(e2)＝2e2(e−2)2，f(x)min＝f(2e)＝0．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求极值和极值存在的条件、利用导数求闭区间上函数的最值等，本题解题的关键是利用极值存在的条件展开运算，以及综合运用函数解决数学问题的能力．