（2012•宿州三模）设函数f（x）=p（x-[1/x]）-2lnx，g（x）=[2e/x]．（p是实数，e是自然对数的

（1）∵f（x）=p（x-[1/x]）-2lnx，f′(x)＝p+
p
x2−
2
x，
∴p=2时，f′（1）=2+2-2=2，
∴与函数y=f（x）的图象在点A（1，0）处相切的切线方程为y=2（x-1），即2x-y-2=0；
（2）∵f′(x)＝
px2−2x+p
x2，∴f’（1）=2（p-1），设直线l：y=2（p-1）（x-1），
∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p-1）（x-1）得（p-1）（x-1）=[e/x]，即（p-1）x²-（p-1）x-e=0
y=[2e/x]当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p-1）²-4（p-1）（-e）=0，得p=1-4e，综上，p=1-4e
（3）因g（x）=[2e/x]在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]
①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）^max=f（1）=0＜2，不合题意
②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
即：f（e）=p（e-[1/e]）-2lne＞2⇒p＞[4e
e2−1③当0＜p＜1时，因x-
1/x]≥0，x∈[1，e]
所以f（x）=p（x-[1/x]）-2lnx≤（x-[1/x]）-2lnx≤e-[1/e]-2lne＜2不合题意
综上，p的取值范围为（ [4e
e2−1，+∞）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．

1年前

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