一个关于三角函数的数学题sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C.证明这个三角形是正三角形

sinA+sinB+sinC＝(sinA+sinB)+sin(A+B)
=2[sin(A+B)/2][cos(A-B)/2]+2[sin(A+B)/2][cos(A+B)/2]
=2[sin(A+B)/2][cos(A-B)/2+cos(A+B)/2]
=4cosA/2cosB/2cosC/2
类似变形的方法,将所证等式的右边变形得
sin2A+sin2B+sin2C＝4sinAsinBsinC
因此4cosA/2cosB/2cosC/2＝4sinAsinBsinC
再利用二倍角公式,且cosA/2cosB/2cosC/2≠0,因此
sinA/2sinB/2sinC/2=1/8
至此,已经得到竞赛中的一道常见题目,解决颇有难度：
1/2[cos(A-B)/2-cos(A+B)/2][cos(A+B)/2]=1/8
整理得 [cos(A+B)/2]^2-[cos(A-B)/2][cos(A+B)/2]+1/4=0
将上式看成关于cos(A+B)/2的一元二次方程,由于方程必定有实根,因此Δ≥0,即[cos(A－B)/2]^2-1≥0
则 [cos(A－B)/2]^2≥1
显然只有 [cos(A－B)/2]^2＝1的可能,因此A＝B
在此基础上,方程的根 cos(A+B)/2＝1/2
具体细节就不写了,由此得 A＝B＝C＝60°
从而证出原三角形是等边三角形.

把sin2A拆开成2sinAcosA,B、C同理，则比较系数得2cosA=2cosB=2cosC=1，得证。
即:sinA+sinB+sinC=2sinAcosA+2sinBcosB+2sinCcosC,比较左右

sinC=sin(A+B)