已知函数fn（x）=x2−2x−aenx，其中n∈N*，a∈R，e是自然对数的底数．

解题思路：（Ⅰ）求函数g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

(x2−2x−a)(ex−1)

e2x

，令g（x）=0，即x=0；或 x²-2x-a=0；△=4+4a，分情况讨论可解得零点．
（II）f_n′（x）=

−nx2+2(n+1)x+a•n−2

enx

，设g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的图象是开口向下的抛物线，g_n（x）=0有两个不等实数根x₁，x₂，
且x₁∈[1，4]，x₂∈[1，4]则g_n（1）g_n（4）＜0，即可推得−1＜a＜(8−

6

n

)min，故-1＜a＜2．

（I）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=
x2−2x−a
ex−
x2−2x−a
e2x=
(x2−2x−a)(ex−1)
e2x，
令g（x）=0，有e^x-1=0，即x=0；或x²-2x-a=0；△=4+4a，
①当a＜1时，△＜0函数g（x）有1个零点 x₁=0；
②当a=-1时，△=0函数g（x）有2个零点x₁=0，x₂=1；
③当a=0时，△＞0函数g（x）有两个零点x₁=0，x₂=2；
④当a＞-1，a≠0时，△＞0函数g（x）有三个零点：
x₁=0，x₂=1-
a+1，x₃=1+
a+1
（II）f_n′（x）=
(2x−2)enx−n(x2−2x−a)enx
enx=
−nx2+2(n+1)x+a•n−2
enx，
设g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的图象是开口向下的抛物线，
由题意对任意n∈N^*，g_n（x）=0有两个不等实数根x₁，x₂，
且x₁∈[1，4]，x₂∈[1，4]则对任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，
即n•（a+1）•n•[a-（8-[6/n]）]＜0，有(a+1)[a−(8−
6
n)]＜0，…（7分）
又任意n∈N^*，8-[6/n]关于n递增，8−
6
n≥8−6＝2，
故−1＜a＜(8−
6
n)min，所以-1＜a＜2．
所以a的取值范围是（-1，2）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考察了利用导数研究函数的极值，考察了计算能力，属于难题．