已知函数f（x）=|x2-1|+x2+kx．

解题思路：（1）由f（x）≥0分离出参数k，得k≥-

|x2−1|+x2

x

，x∈（0，+∞），记g（x）=-

|x2−1|+x2

x

，则问题等价于k≥g（x）_max，由单调性可得g（x）_max；
（2）①（i）当0＜x≤1时，方程f（x）=0为一次型方程，易判断k≠0时有一解；当1＜x＜2时，方程f（x）=0为二次方程，可求得两解，易判断其一不适合，令另一解大于1小于2，可得k的范围，综合可得结论；（ii）由①易知两零点x₁，x₂，从而可表示出

1

x1

+

1

x2

，化简可得为2x₂，结合（ii）可得结论；

（1）f（x）≥0⇒|x²-1|+x²+kx≥0⇒k≥-
|x2−1|+x2/x]，x∈（0，+∞），
记g（x）=-
|x2−1|+x2
x=

−
1
x，x∈(0，1]
−2x+
1
x，x∈(1，+∞)，易知g（x）在（0，1]上递增，在（1，+∞）上递减，
∴g（x）_max=g（1）=-1，
∴k≥-1；
（2）①（ⅰ）0＜x≤1时，方程f（x）=0化为kx+1=0，k=0时，无解；k≠0时，x=-[1/k]；
（ⅱ）1＜x＜2时，方程f（x）=0化为2x²+kx-1=0，x=
−k±
k2+8
4，而其中
−k−
k2+8
4＜
−k−|k|
4≤0，
故f（x）=0在区间（1，2）内至多有一解x=
−k+
k2+8
4；
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，k≠0，且0＜x≤1时，方程f（x）=0有一解x=-

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查二次函数的性质、函数零点及函数恒成立问题，考查转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决，函数零点则转化为方程根处理．