（2013•烟台二模）已知数列{an}中，a1=1，an＞0，an+1是函数f（x）=[1/3]x3+[1/2(1−12

解题思路：（1）求导函数，确定函数的极值点，即可得到数列{a_n}为等比数列，从而求出通项公式a_n；
（2）利用错位相减法，求出数列{b_n}的前n项和为S_n，即可证明结论．

证明：（1）求导函数可得f′(x)＝x2+(1−
1
2an)x−
1
2an=(x+1)(x−
1
2an)
∵a_n＞0，∴f（x）在（-∞，-1）、（[1/2an，+∞）上递增，在（-1，
1
2an）上递减
∴f（x）的极小值点为
1
2an，∴an+1＝
1
2an
∵a₁=1，∴数列{a_n}为首项为1，公比为
1
2]的等比数列，
∴通项公式a_n=(
1
2)n−1；
（2）b_n=na_n²=n•(
1
4)n−1
∴S_n=1•(
1
4)0+2•(
1
4)1+…+n•(
1
4)n−1①
∴[1/4]S_n=1•(
1
4)1+2•(
1
4)2+…+n•(
1
4)n②
①-②：[3/4]S_n=1•(
1
4)0+1•(
1
4)1+…+1•(
1
4)n−1−n•(
1
4)n=
4
3−
4
3•(
1
4)n−n•(
1

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键．